Модификация схемы Диффи–Хеллмана для подписи битовых групп.
В данном разделе изложены идеи авторов [7], позволившие перейти от подписи отдельных битов в исходной схемы Диффи–Хеллмана к подписи битовых групп. Центральным в этом подходе является алгоритм «односторонней криптографической прокрутки», который в некотором роде может служить аналогом операции возведения в степень. Как обычно, предположим, что в нашем распоряжении имеется криптографический алгоритм EK с размером блока данных и ключа соответственно n и nK битов, причем размер блока данных не превышает размера ключа: n£nK. Пусть в нашем распоряжении также имеется некоторая функция «расширения» n–битовых блоков данных в nK–битовые Y=Pn®nK(X), |X|=n, |Y|=nK. Определим функцию Rk «односторонней прокрутки» блока данных T размером n бит k раз (k³0) с помощью следующей рекурсивной формулы:
где X – произвольный несекретный n-битовый блок данных, являющийся параметром процедуры прокрутки. По своей идее функция односторонней прокрутки чрезвычайно проста, надо всего лишь нужное количество раз (k) выполнить следующие действия: расширить n-битовый блок данных T до размера ключа использованного криптоалгоритма (nK), на полученном расширенном блоке как на ключе зашифровать блок данных X, результат зашифрования занести на место исходного блока данных (T). В силу определения операция Rk(T) обладает двумя крайне важными для нас свойствами:
1. Аддитивность по числу прокручиваний:
Rk+k'(T)=Rk'(Rk(T)).
2. Односторонность или необратимость прокрутки: если известно только некоторое значение функции Rk(T), то вычислительно невозможно найти значение Rk'(T) для любого k'<k – если бы это было возможно, в нашем распоряжении был бы способ определить ключ шифрования по известному входному и выходному блоку криптоалгоритма EK. что противоречит предположению о стойкости шифра.
Теперь покажем, как указанную операцию можно использовать для подписи группы битов: изложим описание схемы подписи блока T, состоящего из nT битов, по точно такой же схеме, по которой в предыдущем разделе описывается схема подписи одного бита.
- секретный ключ подписи KS выбирается как произвольная пара блоков K0, K1, имеющих размер блока данных используемого блочного шифра:
- ключ проверки вычисляется как пара блоков, имеющих размер блоков данных использованного криптоалгоритма по следующим формулам:
- при выработке ключевой информации оно равно:
- при подписи и проверке подписи оно вдвое меньше:
KS=(K0,K1);
Таким образом, размер ключа подписи равен удвоенному размеру блока данных использованного блочного шифра:
|KS|=2n;
KC=(C0,C1), где:
C0=R2nT–1(K0), C1=R2nT–1(K1).
В этих вычислениях также используются несекретные блоки данных X0 и X1, являющиеся параметрами функции «односторонней прокрутки», они обязательно должны быть различными.
Таким образом, размер ключа проверки подписи равен удвоенному размеру блока данных использованного блочного шифра:
|KC|=2n.
Алгоритмы модифицированной авторами [7] схемы цифровой подписи Диффи и Хеллмана следующие:
1. Алгоритм G выработки ключевой пары:
Берем случайный блок данных подходящего размера 2n, это и будет секретный ключ подписи:
KS=(K0,K1)=R.
Ключ проверки подписи вычисляем как результат «односторонней прокрутки» двух соответствующих половин секретного ключа подписи на число, равное максимальному возможному числовому значению nT-битового блока данных, то есть на 2nT–1.
KC=(C0,C1)=(R2nT–1(K0), R2nT–1(K1)).
2. Алгоритм SnT выработки цифровой подписи для nT-битового блока T, ограниченного, по своему значению, условием 0£T£2nT–1, заключается в выполнении «односторонней прокрутки» обеих половин ключа подписи T и 2nT–1–T раз соответственно:
s=SnT(T)=(s0,s1)=(RT(K0), R2nT–1–T(K1)).
3. Алгоритм VnT проверки подписи состоит в проверке истинности соотношений:
R2nT–1–T(s0)=C0, RT(s1)=C1, которые, очевидно, должны выполняться для подлинного блока данных T:
R2nT–1–T(s0)=R2nT–1–T(RT(K0))=R2nT–1–T+T(K0)=R2nT–1(K0)=C0,
RT(s1)=RT(R2nT–1–T(K1))=RT+2nT–1–T(K1)=R2nT–1(K1)=C1.
Таким образом, функция проверки подписи будет следующей:
Покажем, что для данной схемы выполняются необходимые условия работоспособности схемы подписи:
1. Предположим, что в распоряжении злоумышленника есть nT-битовый блок T, его подпись s=(s0,s1), и ключ проверки KC=(C0,C1). Пользуясь этой информацией, злоумышленник пытается найти правильную подпись s'=(s'0,s'1) для другого nT-битового блока T'. Для этого ему надо решить следующие уравнения относительно s'0 и s'1:
R2nT–1–T'(s'0)=C0,
RT'(s'1)=C1.
В распоряжении злоумышленника есть блок данных T с подписью s=(s0,s1), и это позволяет ему вычислить одно из значений s'0,s'1, даже не владея ключом подписи:
(a) если T<T', то s'0=RT'(K0)=RT'–T(RT(K0))=RT'–T(s0),
(b) если T>T', то s'1=R2nT–1–T'(K1)=RT–T'(R2nT–1–T(K1))=RT–T'(s1).
Однако для нахождения второй половины подписи (s'1 в случае (a) и s'0 в случае (b)) ему необходимо выполнить прокрутку в обратную сторону, т.е. найти Rk(X), располагая только значением для большего k: Rk'(X), k'>k, что является вычислительно невозможным. Таким образом, злоумышленник не может подделать подпись под сообщением, если не располагает секретным ключом подписи.
2. Второе требование также выполняется: вероятность подобрать блок данных T', отличный от блока T, но обладающий такой же цифровой подписью, чрезвычайно мала и может не приниматься во внимание. Действительно, пусть цифровая подпись блоков T и T' совпадает. Тогда подписи обоих блоков будут равны соответственно:
s=SnT(T)=(s0,s1)=(RT(K0), R2nT–1–T(K1)),
s'=SnT(T')=(s'0,s'1)=(RT'(K0), R2nT–1–T'(K1)),
s=s', следовательно:
RT(K0)=RT'(K0) & R2nT–1–T(K1)=R2nT–1–T'(K1).
Положим для определенности T£T', тогда справедливо следующее:
RT'–T(K0*)=K0*,RT'–T(K1*)=K1*,где K0*=RT(K0), K1*=R2nT–1–T'(K1)
Последнее условие означает, что прокручивание двух различных блоков данных одно и то же число раз оставляет их значения неизменными. Вероятность такого события чрезвычайно мала и может не приниматься во внимание.
Таким образом рассмотренная модификация схемы Диффи–Хеллмана делает возможным подпись не одного бита, а целой битовой группы. Это позволяет в несколько раз уменьшить размер подписи и ключей подписи/проверки данной схемы. Однако надо понимать, что увеличение размера подписываемых битовых групп приводит к экспоненциальному росту объема необходимых вычислений и начиная с некоторого значения делает работу схемы недопустимо неэффективной. Граница «разумного размера» подписываемой группы находится где-то рядом с восемью битами, и блоки большего размера все равно необходимо подписывать «по частям».
Теперь найдем размеры ключей и подписи, а также объем необходимых для реализации схемы вычислений. Пусть размер хэш–блока и блока используемого шифра одинаковы и равны n, а размер подписываемых битовых групп равен nT. Предположим также, что если последняя группа содержит меньшее число битов, обрабатывается она все равно как полная nT-битовая группа. Тогда размеры ключей подписи/проверки и самой подписи совпадают и равны следующей величине:
где éxù обозначает округление числа x до ближайшего целого в сторону возрастания. Число операций шифрования EK(X), требуемое для реализации процедур схемы, определяются нижеследующими соотношениями:
В следующей ниже таблице 2 приведены рассчитанные значения размеров ключей и подписи, и числа требуемых операций шифрования в зависимости от размера подписываемых битовых групп при условии использования блочного криптоалгоритма с размером блока n=64 бита:
Таблица 2. Числовые показатели схемы подписи в зависимости от размера битовых групп.
|
nT |
Число бит. |
Размер подписи и ключей, байт |
Число операций шифрования |
|
|
групп |
|KS|=|KC|=|s| |
WK |
WS=WC |
|
|
1 |
64 |
1024 |
128 |
64 |
|
2 |
32 |
512 |
192 |
96 |
|
3 |
22 |
352 |
308 |
154 |
|
4 |
16 |
256 |
480 |
240 |
|
5 |
13 |
208 |
806 |
403 |
|
6 |
11 |
176 |
1386 |
693 |
|
7 |
10 |
160 |
2540 |
1270 |
|
8 |
8 |
128 |
4080 |
2040 |
|
9 |
8 |
128 |
8176 |
4088 |
|
10 |
7 |
112 |
14322 |
7161 |
|
11 |
6 |
96 |
24564 |
12282 |
|
12 |
6 |
96 |
49140 |
24570 |
|
13 |
5 |
80 |
81910 |
40955 |
|
14 |
5 |
80 |
163830 |
81915 |
|
15 |
5 |
80 |
327670 |
163835 |
|
16 |
4 |
64 |
524280 |
262140 |
Размер ключа подписи и проверки подписи можно дополнительно уменьшить следующими приемами:
1. Нет необходимости хранить ключи подписи отдельных битовых групп, их можно динамически вырабатывать в нужный момент времени с помощью генератора криптостойкой гаммы. Ключом подписи в этом случае будет являться обычный ключ использованного в схеме подписи блочного шифра. Для ГОСТа 28147–89 этот размер равен 256 битам, поэтому если схема подписи будет построена на ГОСТе, размер ключа подписи будет равен тем же 256 битам.
2. Точно так же, нет необходимости хранить массив ключей проверки подписи отдельных битовых групп блока, достаточно хранить его хэш-комбинацию. При этом алгоритм выработки ключа подписи и алгоритм проверки подписи будут дополнены еще одним шагом – вычислением хэш-кода для массива проверочных комбинаций отдельных битовых групп.
Таким образом, проблема размера ключей и подписи полностью решена, однако, главный недостаток схемы – одноразовость ключей – не преодолен, поскольку это невозможно в рамках подхода Диффи–Хеллмана. Для практического использования такой схемы, рассчитанной на подпись N сообщений, отправителю необходимо хранить N ключей подписи, а получателю – N ключей проверки, что достаточно неудобно. Однако эта проблема может быть решена в точности так же, как была решена проблема ключей для множественных битовых групп – генерацией ключей подписи для всех N сообщений из одного мастер-ключа и свертывание всех проверочных комбинаций в одну контрольную комбинацию с помощью алгоритма выработки хэш-кода. Такой подход решил бы проблему размера хранимых ключей, однако привел бы к необходимости вместе подписью каждого сообщения высылать недостающие N–1 проверочных комбинаций, необходимых для вычисления хэш-кода от массива всех контрольных комбинаций отдельных сообщений. Ясно, что такой вариант не обладает преимуществами по сравнению с исходным. Однако в [7] был предложен механизм, позволяющий значительно снизить остроту проблемы. Его основная идея – вычислять контрольную комбинацию (ключ проверки подписи) не как хэш от линейного массива проверочных комбинаций всех сообщений, а попарно – с помощью бинарного дерева. На каждом уровне проверочная комбинация вычисляется как хэш от двух проверочных комбинаций младшего уровня. Чем выше уровень комбинации, тем больше отдельных ключей проверки в ней «учтено». Предположим, что наша схема рассчитана на 2L сообщений. Обозначим через Ci(l) i-тую комбинацию l-того уровня. Если нумерацию комбинаций и уровней начинать с нуля, то справедливо следующее условие: 0£i<2L–l, а i-тая проверочная комбинация l-того уровня рассчитана на 2l сообщений с номерами от i×2l до (i+1)×2l–1 включительно. Число комбинаций нижнего, нулевого уровня равно 2L, а самого верхнего, L-того уровня – одна, она и является контрольной комбинацией всех 2L сообщений, на которые рассчитана схема. На каждом уровне, начиная с первого, проверочные комбинации рассчитываются по следующей формуле:
Ci(l+1)=H(C2(il)||C2(il)+1),
где через A||B обозначен результат конкатенации двух блоков данных – A и B, а через H(X) – процедура вычисления хэш-кода блока данных X.
При использовании указанного подхода вместе с подписью сообщения необходимо передать не N–1, как в исходном варианте, а только log2N контрольных комбинаций. Передаваться должны комбинации, соответствующие смежным ветвям дерева на пути от конечной вершины, соответствующей номеру использованной подписи, к корню.
Уровень                0: C0(0) C1(0) C2(0) C3(0) C4(0) C5(0) C6(0) C7(0) Рис. 3. Схема попарного хеширования проверочных комбинаций при выработке общего ключа проверки подписи. |
C=C0(3)=H(C0(2)||H(H(C4(0)||C5(0))||C3(1))).
Номера контрольных комбинаций каждого уровня, которые должны быть переданы вместе с подписью сообщения с номером i (0£i<2L), вычисляются по следующей формуле: Cë (il/)2lûÅ1, l=0,...,L–1, где xÅ1 означает число, получающееся в результате инвертирования младшего бита в числе x.
Необходимость отправлять вместе с подписью сообщения дополнительную информацию, нужную для проверки подписи, на самом деле не очень обременительна. Действительно, в системе на 1024=210 подписей вместе с сообщением и его подписью необходимо дополнительно передавать 10 контрольных комбинаций, а в системе на 1048576=220 подписей – всего 20 комбинаций. Однако при большом числе подписей, на которые рассчитана система, возникает другая проблема – хранение дополнительных комбинаций, если они рассчитаны предварительно, или их выработка в момент формирования подписи.
Дополнительные контрольные комбинации, которые передаются вместе с подписью и используются при ее проверке, вырабатываются при формировании ключа проверки по ключу подписи и могут храниться в системе и использоваться в момент формирования подписи, либо вычисляться заново в этот момент. Первый подход предполагает затраты дисковой памяти, так как необходимо хранить 2L+1–2 хэш-комбинаций всех уровней, а второй требует большого объема вычислений в момент формирования подписи. Можно использовать и компромиссный подход – хранить все хэш-комбинации начиная с некоторого уровня l*, а комбинации меньшего уровня вычислять при формировании подписи. В рассмотренной выше схеме подписи на 8 сообщений можно хранить все 14 контрольных комбинаций, используемых при проверки (всего их 15, но самая верхняя не используется), тогда при проверке подписи их не надо будет вычислять заново. Можно хранить 6 комбинаций начиная с уровня 1 (C0(1), C1(1), C2(1), C3(1), C0(2), C1(2)), тогда при проверке подписи сообщения №5 необходимо будет заново вычислить комбинацию C4(0), а остальные (C0(2),C3(1)) взять из «хранилища», и т.д.. Указанный подход позволяет достичь компромисса между быстродействием и требованиям к занимаемому количеству дискового пространства. Надо отметить, что отказ от хранения комбинаций одного уровня приводит к экономии памяти и росту вычислительных затрат примерно вдвое, то есть зависимость носит экспоненциальный характер.
