К задачам шестой олимпиады

Так как каждый из 1997 абонентов связан ровно с другими, то общее число направлений связи равно . Отсюда общее число связанных пар абонентов равно , так как каждая связанная пара имеет ровно 2 направления связи. Поскольку число должно быть целым, а число 1997 - нечетное, то число должно быть четным.

Докажем, что для каждого существует система связи из 1997 абонентов, в которой каждый связан ровно с другими. В самом деле, расположив всех абонентов на окружности и связав каждого из них с ближайшими к нему по часовой стрелке и с ближайшими к нему против часовой стрелки, получим пример такой сети связи.

Покажем, что на диагонали присутствуют все числа от 1 до 1997. Пусть число не стоит на диагонали. Тогда, в силу симметрии таблицы, число встречается четное количество раз. С другой стороны, так как число по одному разу встречается в каждой строке, всего в таблице чисел нечетное количество (1997). Получили противоречие.

Всего на диагонали 1997 клеток, поэтому каждое число из множества

встретится на диагонали ровно по одному разу. Вычисляя сумму арифметической прогрессии, находим ответ.

Ответ: 1995003.

Ответ: ШЕСТАЯОЛИМПИАДАПОКРИПТОГРАФИИПОСВЯЩЕНАСЕМИДЕСЯТИ

ПЯТИЛЕТИЮСПЕЦИАЛЬНОЙСЛУЖБЫРОССИИ

Указание. Пусть некоторая буква при зашифровании первым способом заменялась на букву . Тогда количество повторов буквы в первой криптограмме будет равно числу повторов буквы во второй криптограмме.

а) Определим моменты остановок после начала шифрования. Для этого каждой букве русского алфавита припишем ее порядковый номер: А - 0, Б - 1, и т.д. Тогда буквам из шифруемого слова будут соответствовать номера: О - 15, Л - 12, И - 9, М - 13, П -16, А - 0, Д - 4. Моменты остановок будем указывать числом одношаговых (на один зубец) поворотов I колеса до соответствующей остановки.

Содержание раздела

---